Question

過拋物線y²=4x的焦點F引兩條互相垂直的直線AB、CD交拋物線于A、B、C、D四點．
（1）求當|AB|+|CD|取最小值時直線AB、CD的傾斜角的大小
（2）求四邊形ACBD的面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）考慮到過拋物線y²=4x的焦點F引兩條互相垂直的直線AB、CD，利用拋物線的極坐標方程解決．先以F為極點，F(xiàn)X為極軸，建立極坐標系，寫出拋物線的極坐標方程，利用極徑表示出|AB|+|CD|，利用三角函數(shù)求解即得；
（2）利用極徑結(jié)合三角形的面積公式表示出四邊形ACBD的面積，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答：解：（1）F為極點，F(xiàn)X為極軸，建立極坐標系，
則拋物線的極坐標方程可寫為…3’
設(shè)A（ρ₁，θ），則B（ρ₂，π+θ）
∴…2’
同理…2’
∴…2’
故當時，|AB|+|CD|取最小值16，此時AB、CD的傾斜角分別為，．
（2）|AB|．|CD|==…2’
易知：當時，（S_ABCD）_min=32
注：若以直角坐標系求解可同樣給分…4’
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用、簡單曲線的極坐標方程，涉及了直線與拋物線的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．