Question

4．求函數(shù)y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的反函數(shù)．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$（x∈R），y∈（-1，1）．解得x=$\frac{1}{2}lg\frac{1+y}{1-y}$，把x與y互換即可得出．

解答 解：由函數(shù)y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$=$\frac{1{0}^{2x}-1}{1{0}^{2x}+1}$=1-$\frac{2}{1{0}^{2x}+1}$（x∈R），y∈（-1，1）．
解得10^2x=$\frac{1+y}{1-y}$，解得x=$\frac{1}{2}lg\frac{1+y}{1-y}$，
把x與y互換可得：y=$\frac{1}{2}lg\frac{1+x}{1-x}$．
∴函數(shù)y=$\frac{1{0}^{x}-1{0}^{-x}}{1{0}^{x}+1{0}^{-x}}$的反函數(shù)是y=$\frac{1}{2}lg\frac{1+x}{1-x}$．x∈（-1，1）．

點評 本題考查了數(shù)列的周期性與轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．