Question

（本小題滿分16分）在數(shù)列 中，已知 ，為常數(shù).

（1）證明: 成等差數(shù)列;

（2）設(shè) ，求數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ；

（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列 中是否存在三項(xiàng) 成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，

（2）當(dāng)，當(dāng)

（3）不存在

【解析】

試題分析：（1）判定三項(xiàng)成等差數(shù)列，基本方法為驗(yàn)證：分別求出，，，滿足（2）將條件變形為，從而是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，即，所以，，當(dāng)，當(dāng)（3）由（2）用累加法可求得，假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，則，即，，化簡(jiǎn)得，得．矛盾．

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605336407460165_DA/SYS201506200605336407460165_DA.023.png">，

所以，

同理，，， 2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605336407460165_DA/SYS201506200605336407460165_DA.025.png">，， 3分

所以，

故，，成等差數(shù)列． 4分

（2）由，得， 5分

令，則，，

所以是以0為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，

所以， 6分

即，

所以，

所以． 8分

當(dāng)， 9分

當(dāng)． 10分

（3）由（2）知，

用累加法可求得，

當(dāng)時(shí)也適合，所以 12分

假設(shè)存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列，

則，即， 14分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062006053062497888/SYS201506200605336407460165_DA/SYS201506200605336407460165_DA.017.png">成等比數(shù)列，所以，

所以，

化簡(jiǎn)得，聯(lián)立 ，得．

這與題設(shè)矛盾．

故不存在三項(xiàng)成等比數(shù)列，且也成等比數(shù)列． 16分

考點(diǎn)：疊加法數(shù)列通項(xiàng)