Question

19．如圖，矩形AB′DE（AE=6，DE=5），被截去一角（即△BB′C），AB=3，∠ABC=135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA+PE=10．
（1）求五棱錐P-ABCDE的體積的最大值；
（2）在（1）的情況下，證明：BC⊥PB．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出∠B'BC=45°，BB'=2，截去的△BB'C是等腰直角三角形，過(guò)P作PO⊥AE，垂足為O，從而PO⊥平面ABCDE，PO為五棱錐P-ABCDE的高，P在以A，E為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，由橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)知：點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，P到AE的距離最大，從而PO_max=4，由此能求出五棱錐P-ABCDE的體積的最大值．
（2）連接OB，則OA=AB=3，△OAB是等腰直角三角形，∠ABO=45°，從而B(niǎo)C⊥BO，再由PO⊥平面ABCDE，得PO⊥BC，由此能證明BC⊥平面POB，從而B(niǎo)C⊥PB．

解答 解：（1）因?yàn)锳B=3，∠ABC=135°，
所以∠B'BC=45°，BB'=AB'-AB=5-3=2，
所以截去的△BB'C是等腰直角三角形，
所以${S_{ABCDE}}={S_{AB'DE}}-{S_{△BB'C}}=6×5-\frac{1}{2}×2×2=28$．如圖3，
過(guò)P作PO⊥AE，垂足為O，
因?yàn)槠矫鍼AE⊥平面ABCDE，平面PAE∩平面ABCDE=AE，PO?平面PAE，
所以PO⊥平面ABCDE，PO為五棱錐P-ABCDE的高．
在平面PAE內(nèi)，PA+PE=10＞AE=6，P在以A，E為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上，
由橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)知：點(diǎn)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，P到AE的距離最大，
此時(shí)PA=PE=5，OA=OE=3，（指出即可，未說(shuō)明理由不扣分）
所以PO_max=4，
所以${（{V_{P-ABCDE}}）_{max}}=\frac{1}{3}{S_{ABCDE}}\;•\;P{O_{max}}=\frac{1}{3}×28×4=\frac{112}{3}$．
證明：（2）連接OB，如圖，據(jù)（Ⅰ）知，OA=AB=3，
故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO=45°，
所以∠OBC=∠ABC-∠ABO=135°-45°=90°，即BC⊥BO．
由于PO⊥平面ABCDE，所以PO⊥BC，
而PO∩BO=O，所以BC⊥平面POB，PB?平面POB，所以BC⊥PB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積的求法，考查線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．