Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PDC是邊長為4的正三角形且側面PDC⊥面ABCD，E為PC的中點．
（Ⅰ）求證PA∥面EDB；
（Ⅱ）求異面直線PA與DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點D到平面PAB的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）通過連接AC交BD于O，連接OE，由于E為PC的中點，底面ABCD為正方形，所以：O為AC的中點．OE∥PA，進一步得到PA∥面EDB；
（Ⅱ）由于OE∥PA，則：異面直線PA與DE所成角即為OE與DE所成的角，因為側面PDC是邊長為4的正三角形所以：DE²=PD²-PE²，
解得：DE=2

3

，做CD的中點F，連接PF和AF，由于側面PDC⊥面ABCD，所以：PF⊥面ABCD，解得：PF=2

3

，AF=2

5

，所以：AP=4

2

，解得：OE=2

2

，在△DOE中，利用余弦定理：解得：cos∠DEO的值．
（Ⅲ）首先在△PAB中，AB=4，PA=PB=4

2

，所以：S△PAB=

1

2

•4•2

7

=4

7

，則利用：V_D-PAB=V_P-ABD，解得：h=

4 21

7

解答： （Ⅰ）證明：連接AC交BD于O，連接OE，
由于E為PC的中點，底面ABCD為正方形
所以：O為AC的中點．
OE∥PA
OE?平面EDB，
PA?平面EDB
所以：PA∥面EDB；
（Ⅱ）解：由于OE∥PA
則：異面直線PA與DE所成角即為OE與DE所成的角
因為側面PDC是邊長為4的正三角形
所以：DE²=PD²-PE²
解得：DE=2

3

做CD的中點F，連接PF和AF，
由于側面PDC⊥面ABCD
所以：PF⊥面ABCD
解得：PF=2

3

，AF=2

5

所以：AP=4

2

解得：OE=2

2

在△DOE中，利用余弦定理：DO²=DE²+OE²-2DE•OEcos∠DEO
解得：cos∠DEO=

6

4

（Ⅲ）解：在△PAB中，AB=4，PA=PB=4

2

所以：S△PAB=

1

2

•4•2

7

=4

7

設點D到平面PAB的距離為h，
則：V_D-PAB=V_P-ABD

1

3

•4

7

•h=

1

3

•

1

2

•4•4•2

3

解得：h=

4 21

7

點評：本題考查的知識要點：線面平行的判定定理，異面直線的夾角，點到平面的距離，體積的轉換問題，屬于基礎題型．