Question

10．對于函數f（x）=a+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$（a∈R）
（1）若a=-1時，證明函數f（x）是奇函數；
（2）判斷函數f（x）的單調性并說明理由．

Answer 1

分析 （1）a=-1時，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．只要證明f（-x）+f（x）=0即可．
（2）函數f（x）在R上單調遞減．下面給出證明分析：?x₁＜x₂，則${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．只要證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答 （1）證明：a=-1時，f（x）=-1+$\frac{2}{{{3^x}+1}}$，x∈R．
∴f（-x）+f（x）=-2+$\frac{2}{{3}^{-x}+1}$+$\frac{2}{{3}^{x}+1}$=-2+$\frac{2×{3}^{x}}{1+{3}^{x}}+\frac{2}{1+{3}^{x}}$=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）是R上的奇函數．
（2）解：函數f（x）在R上單調遞減．
下面給出證明：?x₁＜x₂，則${3}^{{x}_{1}}$$＜{3}^{{x}_{2}}$．
則f（x₁）-f（x₂）=a+$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$-$（a+\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}）$
=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數f（x）在R上單調遞減．

點評 本題考查了函數的奇偶性與單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．