Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a1a2=

1

3

，a3=

1

9

，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足Sn=3n2+3n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題設(shè)條件，利用等比數(shù)列的通項公式求出等比數(shù)列{a_n}的首項和公比，由此能求出{a_n}的通項公式；利用公式b_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，結(jié)合題設(shè)條件能求出{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=

bn

an

=6n•3n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等比差數(shù)列{a_n}的公比是q
由an=a1qn-1及a1a2=

1

3

，a3=

1

9

，
得

a 2 1 q= 1 3 a1q2= 1 9

，解得

a1=1 q= 1 3

，
∴an=1•(

1

3

)n-1（n∈N^*）…（2分）
故等比數(shù)列{b_n}的通項公式是an=1•(

1

3

)n-1（n∈N^*）．…（3分）
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=6n
當(dāng)n=1時，b₁=S₁=6，符合上式，故b_n=6n（n∈N^*）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cn=

bn

an

=6n•3n-1，
∵T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n，
∴Tn=6×1×30+6×2×31+6×3×32+…+6(n-1)•3n-2+6n•3n-1，①
3T_n=6×1×3¹+6×2×3²+6×3×3³+6（n-1）×3^n-1+6n×3ⁿ，②
錯位相減，①-②得
-2Tn=6(30+31+32+…+3n-1)-6n×3ⁿ
=6×

30(1-3n)

1-3

-6n×3ⁿ，
∴Tn=-

1

2

[6×

30(1-3n)

1-3

-6n•3n]
=(n-

1

2

)•3n+1+

3

2

=

3

2

•[(2n-1)•3n+1]…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式和公式b_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

的應(yīng)用，解題時要注意錯位相減求和法的合理運用，是中檔題．