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已知雙曲線(xiàn)C：
x2
4
-y2=1，P為雙曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程；
（2）求證：點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)．
（1）依題意，雙曲線(xiàn)的兩焦點(diǎn)F1（-
5
，0），F(xiàn)2（
5
，0），兩條漸近線(xiàn)方程分別是x-2y=0和x+2y=0．
（2）設(shè)P（x1，y1）是雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)P（x1，y1）到兩條漸近線(xiàn)的距離分別是
|x1-2y1|
5
和
|x1+2y1|
5
，
∵P（x1，y1）為雙曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)，
∴x12-4y12=4，
∴它們的乘積是
|x1-2y1|
5
•
|x1+2y1|
5
=
x12-4y12
5
=
4
5
．
∴點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)的兩條漸線(xiàn)的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)C：
x24
-y2=1，P為C上的任意點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)P到雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），求|PA|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)C：
x2
4
-
y2
5
=1的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)l與C交于兩點(diǎn)A、B，若|AB|=5，則滿(mǎn)足條件的l的條數(shù)為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•西城區(qū)一模）已知雙曲線(xiàn)C：
x2
4
-y2=1，以C的右焦點(diǎn)為圓心且與其漸近線(xiàn)相切的圓方程為
（x-
5
）2+y2=4，
（x-
5
）2+y2=4，
，若動(dòng)點(diǎn)A，B分別在雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)上，且|AB|=2，則線(xiàn)段AB中點(diǎn)的軌跡方程為
16x2+y2=4
16x2+y2=4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•南京二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線(xiàn)C：
x2
4
-
y2
3
=1．設(shè)過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，若
AM
=2
MB
，則直線(xiàn)l的斜率為
±
1
2
±
1
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線(xiàn)C：
x2
4
-y2=1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求與C有共同漸近線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)（2，
5
）的雙曲線(xiàn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面積．

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