Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，ABCD為平行四邊形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M為PB的中點(diǎn)，PA＝AD＝2，AB＝1.

(1)求證：PD∥平面AMC；

(2)求三棱錐A－MBC的高．

Answer 1

[解析]　

(1)如圖，連接BD，設(shè)BD與AC相交于點(diǎn)O，連接OM，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．

∵M為PB的中點(diǎn)，

∴OM為△PBD的中位線，

∴OM∥PD，

∵OM⊂平面AMC，PD⊄平面AMC，

∴PD∥平面AMC.

(2)∵BC⊥平面PAB，AD∥BC，

∴AD⊥平面PAB，∴PA⊥AD，

又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，

∴PA⊥平面ABCD.

取AB的中點(diǎn)F，連接MF，則MF∥PA，

∴MF⊥平面ABCD，且MF＝PA＝1.

設(shè)三棱錐A－MBC的高為h，

由V_A－MBC＝V_M－ABC，得S_△MBC·h＝S_△ABC·MF，

得h＝＝＝.