Question

已知函數f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然數的底數，a∈R．
（1）當a＜0時，解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，求a的取值范圍；
（3）當a=0時，求整數k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據e^x＞0，a＜0，不等式可化為，由此可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）求導函數，再分類討論：①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立；②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，f（x）有極大值又有極小值．若a＞0，可得f（x）在[-1，1]上不單調；若a＜0，要使f（x）在[-1，1]上單調，因為g（0）=1＞0，必須滿足，從而可確定a的取值范圍；
（3）當a=0時，原方程等價于，構建函數，求導函數，可確定h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是單調增函數，從而可確定方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，故可得k的值．
解答：解：（1）因為e^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即為ax²+x＞0，
又因為a＜0，所以不等式可化為，
所以不等式f（x）＞0的解集為．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；（6分）
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，不妨設x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因為g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內有極值點，故f（x）在[-1，1]上不單調．（8分）
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調，
因為g（0）=1＞0，必須滿足，即，所以．
綜上可知，a的取值范圍是．（10分）
（3）當a=0時，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等價于，
令，
因為對于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內是單調增函數，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有兩個實數根，且分別在區(qū)間[1，2]和[-3，-2]上，
所以整數k的所有值為{-3，1}．（16分）
點評：本題考查解不等式，考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數與方程思想，考查分類討論的數學思想，綜合性強．