Question

5．在△ABC中，點B（4，4），角A的內(nèi)角平分線所在直線的方程為y=0，BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+2=0
（Ⅰ） 求點C的坐標；
（Ⅱ） 求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）利用相互垂直的直線斜率之間的關系、直線交點與方程組的關系即可得出．
（II）l利用兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意知BC的斜率為-2，又點B（4，4），∴直線BC的方程為y-4=-2（x-4），即2x+y-12=0．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$，∴點A的坐標為（-2，0）．
又∠A的內(nèi)角平分線所在直線的方程為y=0，∴點B（4，4）關于直線y=0的對稱點B'（4，-4）在直線AC上，
∴直線AC的方程為$y=-\frac{2}{3}（{x+2}）$，即2x+3y+4=0．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-12=0}\\{2x+3y+4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=-8}\end{array}\right.$，∴點C的坐標為（10，-8）．
（Ⅱ）∵$|{BC}|=\sqrt{{{（{10-4}）}^2}+{{（{-8-4}）}^2}}=6\sqrt{5}$，
又直線BC的方程是2x+y-12=0，∴點A到直線BC的距離是$d=\frac{{|{2×（{-2}）-0-12}|}}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=\frac{16}{{\sqrt{5}}}$，∴△ABC的面積是$S=\frac{1}{2}×|{BC}|×d=\frac{1}{2}×6\sqrt{5}×\frac{16}{{\sqrt{5}}}=48$．

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、直線交點與方程組的關系、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．