Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+b，g（x）=ax+aln（x-1），若存在實數(shù)a（a≥1），使y=f（x），y=g（x）的圖象無公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（　　）

• A． [-1，0]
• B． （-$\frac{3}{4}$-ln2，1]
• C． （-$\frac{3}{4}$-ln2，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{3}{4}$-ln2]

Answer 1

分析 若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象無公共點，則等價為f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，利用參數(shù)分離法，轉化為求函數(shù)的最值，構造函數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)進行求解即可．

解答 解：若y=f（x）的圖象與y=g（x）的圖象無公共點，
則等價為f（x）-g（x）＞0或f（x）-g（x）＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）+b＞0或，x²-ax-aln（x-1）+b＜0恒成立，
即x²-ax-aln（x-1）＞-b或x²-ax-aln（x-1）＜-b恒成立，
設h（x）=x²-ax-aln（x-1），則函數(shù)h（x）的定義域為（1，+∞），
函數(shù)的導數(shù)h′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
當a≥1時，$\frac{a+2}{2}$≥$\frac{3}{2}$，
故x∈（1，$\frac{a+2}{2}$）時，h′（x）＜0，
x∈（ $\frac{a+2}{2}$，+∞）時，h′（x）＞0，
即當x=$\frac{a+2}{2}$時，函數(shù)h（x）取得極小值同時也是最小值h（ $\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-aln$\frac{a}{2}$，
設G（a）=h（$\frac{a+2}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-aln$\frac{a}{2}$，
則G（a）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴G（a）的最大值為G（1）=$\frac{3}{4}$+ln2，
故h（x）的最小值h（$\frac{a+2}{2}$）≤$\frac{3}{4}$+ln2，
則若x²-ax-aln（x-1）＞-b，
則b＞-$\frac{3}{4}$-ln2，
若x²-ax-aln（x-1）＜-b恒成立，則不成立，
綜上b＞-$\frac{3}{4}$-ln2，
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)的相交問題，構造函數(shù)，利用參數(shù)分類法，結合導數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．