Question

如圖，在四棱臺(tái)ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB=2AD，AD=A₁B₁，∠BAD=60°，
（Ⅰ）證明：AA₁⊥BD；
（Ⅱ）證明：CC₁∥平面A₁BD。

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B=2AD，所以設(shè)AD=a，則AB=2a，
又因?yàn)椤螧AD=60°，
所以在△ABD中，由余弦定理得：，
所以BD=，
所以，故BD⊥AD，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20110830/20110830154805359926.gif" border=0>平面ABCD，
所以D₁D⊥BD，
又因?yàn)锳D∩D₁D=D，
所以BD⊥平面ADD₁A₁，故。
(2)連結(jié)AC，設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)，
由底面ABCD是平行四邊形得：O是AC的中點(diǎn)，
由四棱臺(tái)知：平面ABCD∥平面，
因?yàn)檫@兩個(gè)平面同時(shí)都和平面相交，交線分別為AC、，故，
又因?yàn)锳B=2a，BC=a，，
所以可由余弦定理計(jì)算得AC=，
又因?yàn)锳₁B₁=2a，B₁C₁=，，
所以可由余弦定理計(jì)算得A₁C₁=，
所以A₁C₁∥OC且A₁C₁=OC，
故四邊形OCC₁A₁是平行四邊形，所以CC₁∥A₁O，
又CC₁平面A₁BD，A₁O平面A₁BD，
所以CC₁∥平面A₁BD。