Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的最小值；

（2）函數(shù)，若在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）記的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）計(jì)算，判斷在的符號(hào)，可得的單調(diào)性，可得結(jié)果.

（2）計(jì)算，采用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后分離參數(shù)，并構(gòu)建新的函數(shù)，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，求得極值，最后與比較大小，可得結(jié)果.

（3）通過兩邊取對(duì)數(shù)以及，化簡式子， 可得，利用換元法并構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)果

（1）由題可知：

當(dāng)，

所以在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以，

（2），定義域?yàn)?/span>

則，

由在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)

則在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

等價(jià)于在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

等價(jià)于函數(shù)圖象在有兩個(gè)交點(diǎn)

則

令，則

令，則

所以在遞增，在遞減

則有極大值為，

當(dāng)時(shí)，遞增，且

所以當(dāng)時(shí)，

所以

（3）由（2）可知：

由兩個(gè)極值點(diǎn)分別為

所以

所以

則

由，所以兩邊取對(duì)數(shù)可知：

，所以

則，所以

由

所以

令

所以，則

若不等式恒成立

等價(jià)于，恒成立

令，

則

當(dāng)，即，可得

所以在單調(diào)遞增，又

所以當(dāng)時(shí)，恒成立

當(dāng)，即時(shí)，

若，

若，

所以在遞增，在遞減

又，所以當(dāng)時(shí)，不恒成立

綜上所述：