Question

17．已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A，B兩點，弦AB的中點為M（0，1）．
（1）求實數(shù)a的取值范圍及直線l的方程；
（2）已知N（0，-3），若圓C上存在兩個不同的點P，使PM=$\sqrt{3}$PN，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到圓的標準方程，根據(jù)直線垂直的條件：斜率之積為-1，點與圓的位置關系即可求出a的取值范圍；
（2）利用PM=$\sqrt{3}$PN，可得圓的方程，結合兩個圓相交，求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）圓的標準方程為（x+1）²+（y-2）²=5-a，
則圓心C（-1，2），半徑r=$\sqrt{5-a}$，
∵弦AB的中點為M（0，1）．
∴點M在圓內(nèi)部，即$\sqrt{{1}^{2}+（1-2）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$，
∴5-a＞2，即a＜3．
∵弦的中點為M（0，1）．
∴直線CM的斜率k=$\frac{2-1}{-1-0}$=-1，
則直線l的斜率k=1，
則直線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0．
（2）設P（x，y），由|PM|=$\sqrt{3}$|PN|，
可得$\sqrt{（x-0）^{2}+（y-1）^{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{（x-0）^{2}+（y+3）^{2}}$，
化簡可得，x²+（y+5）²=12，
即為P的軌跡為圓心（0，-5），半徑為2$\sqrt{3}$的圓．
據(jù)題意：兩個圓相交：|$\sqrt{5-a}$-2$\sqrt{3}$|＜$\sqrt{1+（2+5）^{2}}$＜$\sqrt{5-a}$+2$\sqrt{3}$，
解得-57-20$\sqrt{6}$＜a＜-57+20$\sqrt{6}$，且-57+20$\sqrt{6}$＜3，
則實數(shù)a的取值范圍是（-57-20$\sqrt{6}$，-57+20$\sqrt{6}$）．

點評 本題主要考查直線和圓的方程的應用，同時考查點與圓及圓與圓的位置關系，利用配方法將圓配成標準方程是解決本題的關鍵．