Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)是，點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓另一個焦點(diǎn)是，且

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值

 

Answer 1

【答案】

（1）設(shè)橢圓方程為，點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點(diǎn)， 則點(diǎn)為 

，而為，則有

則有，所以 

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052206184392184651/SYS201205220620058281256151_DA.files/image014.png">

所以 

所以橢圓方程為：-----------------------5分

（2）由（1）知,過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則

的周長為，則（為三角形內(nèi)切圓半徑），當(dāng)的面積最大時，其內(nèi)切圓面積最大

設(shè)直線方程為：，，則

 

所以 

令，則，所以，而在上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)時取等號，即當(dāng)時，的面積最大值為3

結(jié)合，得的最小值為 

【解析】略