Question

1．f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，若對任意的m，n∈[-1，1]時，有f（m）+f（n）＜m+n．
（1）證明：f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）解不等式f（x-1）+f（2x-3）＜0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，根據(jù)條件便可得到f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂＜0，從而得出f（x₁）＜f（x₂），這樣便證出f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)便可得到f（x-1）＜f（2x-3），再根據(jù)f（x）的定義域及單調(diào)性便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤2x-3≤1}\\{x-1＜2x-3}\end{array}\right.$，解該不等式組即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）證明：根據(jù)條件，設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）＜x₁-x₂＜0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）由f（x-1）+f（2x-3）＜0得，f（x-1）＜f（-2x+3）；
∵f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x-1≤1}\\{-1≤-2x+3≤1}\\{x-1＜-2x+3}\end{array}\right.$；
解得$1≤x＜\frac{4}{3}$；
∴原不等式的解集為[1，$\frac{4}{3}$）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差比較f（x₁）與f（x₂）的方法，以及根據(jù)增函數(shù)的定義解不等式．