Question

 已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

(2)若對每一個正整數(shù)k，若將a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按從小到大的順序排列后，此三項(xiàng)均能構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為d_k.①求p的值及對應(yīng)的數(shù)列{d_k}．

②記S_k為數(shù)列{d_k}的前k項(xiàng)和，問是否存在a，使得S_k＜30對任意正整數(shù)k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 (1)因?yàn)?i>a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0，所以n≥2時，a₁＋a₂＋…＋a_n－1－pa_n＝0，兩式相減，得＝(n≥2)，故數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是公比為的等比數(shù)列，又當(dāng)n＝1時，a₁－pa₂＝0，解得a₂＝，

從而a_n＝

(2)①由(1)得a_k＋1＝^k－1，

a_k＋2＝^k，a_k＋3＝^k＋1，

若a_k＋1為等差中項(xiàng)，則2a_k＋1＝a_k＋2＋a_k＋3，

即＝1或＝－2，解得p＝－；

此時a_k＋1＝－3a(－2)^k－1，a_k＋2＝－3a(－2)^k，

所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋2|＝9a·2^k－1，

若a_k＋2為等差中項(xiàng)，則2a_k＋2＝a_k＋1＋a_k＋3，

即＝1，此時無解；

若a_k＋3為等差中項(xiàng)，則2a_k＋3＝a_k＋1＋a_k＋2，

即＝1或＝－，解得p＝－，

此時a_k＋1＝－^k－1，a_k＋3＝－^k＋1，

所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋3|＝·^k－1，

綜上所述，p＝－，d_k＝9a·2^k－1或p＝－，

d_k＝·^k－1.

②當(dāng)p＝－時，S_k＝9a(2^k－1)．

則由S_k＜30，得a＜，

當(dāng)k≥3時，＜1，所以必定有a＜1，

所以不存在這樣的最大正整數(shù)．

當(dāng)p＝－時，S_k＝，

則由S_k＜30，得a＜，因?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/05/03/23/2015050323171851525446.files/image208.gif'>＞，所以a＝13滿足S_k＜30恒成立；但當(dāng)a＝14時，存在k＝5，使得a＞即S_k＜30，

所以此時滿足題意的最大正整數(shù)a＝13.