Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線，點(diǎn)，設(shè)直線與交于不同的兩點(diǎn)、.

（1）若直線軸，求直線的斜率的取值范圍；

（2）若直線不垂直于軸，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）先設(shè)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用斜率坐標(biāo)公式，將PA的斜率表示出來(lái)，之后對(duì)式子進(jìn)行變形，利用基本不等式求得其范圍，從而得到直線PA的斜率的取值范圍，同理可得點(diǎn)P落在第四象限時(shí)，其斜率的取值范圍，之后取并集得到結(jié)果.

（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求得兩根的關(guān)系，利用兩個(gè)角的關(guān)系，得到兩條直線的斜率是互為相反數(shù)的，從而得到，代入直線方程，求得直線過(guò)的定點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，設(shè)，，

∴，同理，當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，∴，綜上所述

∴

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，得，

，

設(shè)，，，，

∵

∴

，，

∴，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)