Question

7．在△ABC中，
（1）求證：sinA+sinB+sinC=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
（2）若A+B=120°，求證：$\frac{a}{b+c}$+$\frac{a+c}$=1；
（3）若acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，求證：a+c=2b．

Answer 1

分析 （1）左邊利用和差化積、誘導(dǎo)公式即可證明；
（2）A+B=120°，可得C=60°，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcos60°，把$\frac{a}{b+c}$+$\frac{a+c}$通分代入即可證明；
（3）由于acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，利用倍角公式化為a+c+acosC+ccosA=3b，再利用acosC+ccosA=b，即可證明．

解答 證明：（1）sinA+sinB+sinC=$2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}$+sinC
=$2cos\frac{C}{2}cos\frac{A-B}{2}$+$2sin\frac{C}{2}cos\frac{C}{2}$
=2$cos\frac{C}{2}$$（cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}）$
=$2cos\frac{C}{2}•2cos\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}$
=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
∴sinA+sinB+sinC=4cos$\frac{A}{2}$cos$\frac{B}{2}$cos$\frac{C}{2}$；
（2）∵A+B=120°，∴C=60°，∴c²=a²+b²-2abcos60°，化為c²=a²+b²-ab．
∴$\frac{a}{b+c}$+$\frac{a+c}$=$\frac{{a}^{2}+ac+^{2}+bc}{ab+ac+bc+{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+ac+bc}{ab+ac+bc+{a}^{2}+^{2}-ab}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+ac+bc}{{a}^{2}+^{2}+ac+bc}$=1，
∴$\frac{a}{b+c}$+$\frac{a+c}$=1；
（3）∵acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
∴$a×\frac{1+cosC}{2}+c×\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{3b}{2}$，
化為a+c+acosC+ccosA=3b，
∵acosC+ccosA=b，
∴a+c=2b．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和差化積、誘導(dǎo)公式、余弦定理、倍角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．