Question

7．已知（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1，則${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx的值為$\frac{33}{2}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，常數(shù)項(xiàng)就是找x的指數(shù)為零的項(xiàng)，求出第幾項(xiàng)，代入就可求出結(jié)論，需要分類討論，再根據(jù)定積分計(jì)算即可．

解答 解（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a）⁶（a∈Z）的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=C₆^r（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^ra^6-r，
其中（2x+$\frac{1}{{x}^{2}}$）^r的展開式的通項(xiàng)公式為T_k+1=C_r^k（2^r-k）x^r-3k，0≤k，r≤6，
當(dāng)r-3k=0時(shí)，展開式中只有常數(shù)項(xiàng)，
當(dāng)k=0時(shí)，r=0，a⁶，
當(dāng)k=1時(shí)，r=3，C₃¹（2^3-1）•C₆³a³，=240a³，
當(dāng)k=2時(shí)，r=6，C₆²（2^6-2）=240，
∴a⁶+240+240a³=1，
解得a=-1，
∴${∫}_{a}^{2}$（4x³+x）dx=（x⁴+$\frac{1}{2}$x²）|${\;}_{-1}^{2}$=$\frac{33}{2}$，
故答案為：$\frac{33}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式定理，定積分的計(jì)算，解決過程中的這種“先化簡再展開”的思想在高考題目中常有體現(xiàn)的．本題解題的關(guān)鍵是寫出通項(xiàng)，這是解這種問題的通法．