Question

已知函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，且對任意的正數x，y都有f（x•y）=f（x）+f（y），若數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足f（S_n+2）-f（a_n）=f（3）（n∈N^*），則a_n為（　�。�

• A、2^n-1
• B、n
• C、2n-1
• D、（

  3

  2

  ）^n-1

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：由題意，f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），再由函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數可得S_n+2=3a_n，從而求數列的通項公式．

解答： 解：∵f（S_n+2）-f（a_n）=f（3），
∴f（S_n+2）=f（a_n）+f（3）=f（3a_n），
又∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的單調函數，
∴S_n+2=3a_n，
①當n=1時，a₁+2=3a₁，故a₁=1，
②當n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=3a_n-2-（3a_n-1-2）=3a_n-3a_n-1，
故a_n=

3

2

3a_n-1，
故a_n=（

3

2

）^n-1，
故選D．

點評：本題考查了抽象函數的應用，同時考查了數列通項公式的求法，屬于中檔題．