Question

21.已知函數(shù)f（x）=ax－x²的最大值不大于,又當(dāng)x∈［,］時(shí)，f（x）≥.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）設(shè)0<a₁<,a_n+1=f（a_n）,n∈N*,證明：a_n<.

Answer 1

21.本小題主要考查函數(shù)和不等式的概念，考查數(shù)學(xué)歸納法，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析和解決問(wèn)題的能力.

（Ⅰ）解：由于f（x）=ax－x²的最大值不大于，所以

f（）=≤，即a²≤1.                                              ①

又x∈［,］時(shí)，f（x）≥，所以

　即

解得a≥1.                                                                                    ②

由①②得a=1.                                                       

（Ⅱ）證法一：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，0<a₁<，不等式0<a_n<成立；

因f（x）>0,x∈（0，），所以0<a₂=f（a₁）≤<，故n=2時(shí)不等式也成立.

（ⅱ）假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)，不等式0<a_k<成立，因?yàn)?I >f（x）=x－x²的對(duì)稱軸為x=，知f（x）在［0,］為增函數(shù)，所以由0<a_k<≤，得

0<f（a_k）<f（）.                                

于是有

0<a_k+1<－·+－=－＜，                                                                               　 

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)（�。�（ⅱ）可知，對(duì)任何n∈N*，不等式a_n<成立.

證法二：（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，0<a₁<,不等式0<a_n<成立；

（ⅱ）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，即0<a_k<，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

a_k+1=a_k（1－a_k）=·（k+2）a_k·（1－a_k）.          

因（k+2）a_k>0,1－a_k>0,所以

（k+2）a_k·（1－a_k）≤［］²=［］²<1.于是0<a_k+1<.

因此當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)（ⅰ）（ⅱ）可知，對(duì)任何n∈N*，不等式a_n<成立.

證法三：（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，0<a₁<,不等式0<a_n<成立；

（ⅱ）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，0<a_k<，則當(dāng)n=k+1時(shí)，

若0<a_k<,則

0<a_k+1=a_k（1－a_k）<a_k<.                    ①

若≤a_k<，則

0<a_k+1=a_k（1－a_k）<（1－×）=·<.

②　

由①②知當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式0<a_n<也成立.

根據(jù)（ⅰ）（ⅱ）可知，對(duì)任何n∈N*，不等式a_n<成立.