Question

2．設(shè)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_{\frac{1}{2}}}（x+1），\;x∈[0，1）\\ 1-|x-3|，\;x∈[1，+∞）.\end{array}$，則關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$的所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$-1
• C． 1-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． 1-$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的解析式和奇函數(shù)的對(duì)稱性作出函數(shù)f（x）在R上的圖象和y=$\frac{1}{2}$的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可．

解答 解：由題意作出函數(shù)f（x）在R上的圖象和y=$\frac{1}{2}$的圖象如下，
，
由圖象可知函數(shù)$F（x）=f（x）-\frac{1}{2}$共有5個(gè)零點(diǎn)，
其中最左邊兩個(gè)零點(diǎn)x₁+x₂=-6，
最右邊兩個(gè)零點(diǎn)x₄+x₅=6，
中間一個(gè)零點(diǎn)x₃是方程${log_2}（1-x）=\frac{1}{2}$的根，
解得${x_3}=1-\sqrt{2}$，
故所有零點(diǎn)之和為x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=$1-\sqrt{2}$；
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．