Question

已知點M（-2，0），N（2，0），動點P滿足條件|PM|-|PN|=22.記動點P的軌跡為W.

(1)求W的方程；

(2)若A，B是W上的不同兩點，O是坐標原點，求·的最小值.

Answer 1

解法一：（1）由|PM|-|PN|=知動點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，實半軸長a=.又半焦距c=2,故虛半軸長b=.?

所以W的方程為,x≥2.?

（2）設(shè)A、B的坐標分別為（x₁,y₁）,(x₂,y₂).?

當AB⊥x軸時，x₁=x₂,y₁=-y₂.?

從而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.?

當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.與W的方程聯(lián)立，消去y得

（1-k²）x²-2kmx-m²-2=0.?

故x₁+x₂=,x₁x₂=，所以?

=x₁x₂+y₁y₂?

=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)?

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²?

?

.?

又因為x₁x₂＞0，所以k²-1＞0,從而.?

綜上，當AB⊥x軸時，取得最小值2.

解法二：（1）同解法一.?

（2）設(shè)A，B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂),則?

x_i²-y _i²=(x _i+y _i)(x _i-y _i)=2(i=1,2).?

令s _i=x_i+y_it _i=x _i-y_i,?

則s_it _i=2,且s_i＞0,t_i＞0(i=1,2),所以?

=x₁x₂+y₁y₂?

=(s₁+t₁)(s₂+t₂)+(s₁-t₁)(s₂-t₂)?

=s₁s₂+t₁t₂≥=2,?

當且僅當s₁s₂=t₁t₂,即時“=”成立.所以的最小值是2.