Question

17．已知函數f（x）=x³-3x²+2，函數g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+3）^{2}+1，x＜0}\\{（x-\frac{1}{2}）^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，則關于x的方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的實根個數取得最大值時，實數a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\frac{5}{4}$]
• B． （1，$\frac{5}{4}$）
• C． [1，$\frac{5}{4}$]
• D． [0，$\frac{5}{4}$]

Answer 1

分析 利用換元法設t=f（x），則g（t）=a分別作出兩個函數的圖象，根據a的取值確定t的取值范圍，利用數形結合進行求解判斷即可．

解答 解：作出函數f（x）和g（x）的圖象如圖：
由g[f（x）]-a=0（a＞0）得g[f（x）]=a，（a＞0）
設t=f（x），則g（t）=a，（a＞0）
由y=g（t）的圖象知，
①當0＜a＜1時，方程g（t）=a有兩個根-4＜t₁＜-3，或-4＜t₂＜-2，
由t=f（x）的圖象知，當-4＜t₁＜-3時，t=f（x）有0個根，
當-4＜t₂＜-2時，t=f（x）有0個根，
此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有0個根，
②當a=1時，方程g（t）=a有兩個根t₁=-3，或t₂=$\frac{1}{2}$，
由t=f（x）的圖象知，當t₁=-3時，t=f（x）有0個根，
當t₂=$\frac{1}{2}$時，t=f（x）有3個根，
此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3個根，
③當1＜a＜$\frac{5}{4}$時，方程g（t）=a有兩個根0＜t₁＜$\frac{1}{2}$，或$\frac{1}{2}$＜t₂＜1，
由t=f（x）的圖象知，當0＜t₁＜$\frac{1}{2}$時，t=f（x）有3個根，
當$\frac{1}{2}$＜t₂＜1時，t=f（x）有3個根，
此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6個根，
④當a=$\frac{5}{4}$時，方程g（t）=a有兩個根t₁=0，或t₂=1，
由t=f（x）的圖象知，當t₁=0時，t=f（x）有3個根，
當t₂=1時，t=f（x）有3個根，
此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3+3=6個根
⑤當a＞$\frac{5}{4}$時，方程g（t）=a有1個根t₁＞1，
由t=f（x）的圖象知，當t₁＞1$\frac{1}{2}$時，t=f（x）有3或2個或1個根，
此時方程g[f（x）]-a=0（a＞0）有3或2個或1個根，
綜上方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的實根最多有6個根，
當方程的實根為6個時，對應的1＜a≤$\frac{5}{4}$，
即實數a的取值范圍是（1，$\frac{5}{4}$]
故選：A．

點評 本題主要考查根的個數的判斷，利用換元法轉化為兩個函數的交點個數問題，利用分類討論和數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．