Question

已知在單位圓x²+y²=1上任取一點M，作MN⊥x軸，垂足為N，

NQ

=

2

NM

．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設點A（a，0），點P為曲線C上任一點，求點A到點P距離的最大值d（a）；
（Ⅲ）在0＜a＜1的條件下，設△POA的面積為S₁（O是坐標原點，P是曲線C上橫坐標為a的點），以d（a）為邊長的正方形的面積為S₂．若正數(shù)m滿足S1≤

1

4

mS2，問m是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）設點Q（x，y），M（x₀，y₀），則N（x₀，0）．通過向量運算可用Q的坐標表示點M的坐標，代入單位圓的方程即可；
（II）設P（x，y），則y²=2-2x²．再利用兩點間的距離公式可得|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，通過討論頂點的橫坐標-a與-1，1的大小關系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可；
（III）由題意分別表示出S₁及S₂，由正數(shù)m滿足S1≤

1

4

mS2，通過分離參數(shù)得到m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，通過換元t=a²+1，則t∈（1，2），a²=t-1．得到f（t），利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設點Q（x，y），M（x₀，y₀），則N（x₀，0）
∴

NQ

=(x-x0，y)，

NM

=(0，y0)
∵

NQ

=

2

NM

，
∴(x-x0，y)=

2

(0，y0)
∵

x-x0=0 y= 2 y0

，∴

x0=x y0= 2 2 y

（*）
∵點M（x₀，y₀）在單位圓x²+y²=1上，即

x

2 0

+

y

2 0

=1．
把（*）代入得x2+

y2

2

=1，即為動點Q的軌跡C的方程．
（Ⅱ）設P（x，y），則y²=2-2x²．
∴|PA|²=（x-a）²+y²=（x-a）²+2-2x²=-（x+a）²+2a²+2，
令f（x）=-（x+a）²+2a²+2，x∈[-1，1]，
所以，當-a＜-1，即a＞1時，f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，[f（x）]_max=f（-1）=（a+1）²；
當-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時，f（x）在[-1，-a]上是增函數(shù)，在[-a，1]上是減函數(shù)，則[f（x）]_max=f（-a）=2a²+2；
當-a＞1，即a＜-1時，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，[f（x）]_max=f（1）=（a-1）²．
所以，d（a）=

1-a，當a＜-1時 2a2+2 ，當-1≤a≤1時 1+a，當a＞1時

．
（Ⅲ）當0＜a＜1時，P(a，±

2-2a2

)，于是S1=

1

2

a

2(1-a2)

，S2=2a2+2，
若正數(shù)m滿足條件，則

1

2

2(1-a2)

≤

1

4

m(2a2+2)，即m≥

a 2(1-a2)

a2+1

，
m2≥

2a2(1-a2)

(a2+1)2

．
令f(a)=

2a2(1-a2)

(a2+1)2

，設t=a²+1，則t∈（1，2）．a(chǎn)²=t-1．
于是f(a)=

2(t-1)(2-t)

t2

=2(-

2

t2

+

3

t

-1)=-4(

1

t

-

3

4

)2+

1

4

，
∴當

1

t

=

3

4

時，即t=

4

3

∈(1，2)時，[f(a)]max=

1

4

，
即m2≥

1

4

，m≥

1

2

．
所以，m存在最小值

1

2

．

點評：熟練掌握“代點法”、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、換元法、分類討論的思想方法是解題的關鍵．