Question

7．如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若$\frac{DM}{MP}$=$\frac{CN}{NA}$，用向量法證明：直線MN∥平面PAB．

Answer 1

分析 建立空間坐標系，設A，C，P三點坐標，用此三點的坐標表示出$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BA}$，然后觀察能否用$\overrightarrow{BP}，\overrightarrow{BA}$表示出$\overrightarrow{MN}$即可判斷線面是否平行．

解答 解：建立如圖所示的空間坐標系，設C（a，0，0），A（0，b，0），P（m，n，p），則D（a，b，0），
∴$\overrightarrow{BP}$=（m，n，p），$\overrightarrow{BA}$=（0，b，0），$\overrightarrow{CA}$=（-a，b，0），$\overrightarrow{DP}$=（m-a，n-b，p），$\overrightarrow{DC}$=（0，-b，0），
∵$\frac{DM}{MP}$=$\frac{CN}{NA}$，∴$\frac{DM}{DP}=\frac{CN}{CA}$，設$\frac{DM}{DP}=\frac{CN}{CA}$=λ，則$\overrightarrow{DM}$=λ$\overrightarrow{DP}$=（mλ-aλ，nλ-bλ，pλ），$\overrightarrow{CN}$=λ$\overrightarrow{CA}$=（-aλ，bλ，0）．
∴$\overrightarrow{MN}$=-$\overrightarrow{DM}$+$\overrightarrow{DC}$+$\overrightarrow{CN}$=（-mλ，2bλ-nλ-b，-pλ），∴$\overrightarrow{MN}$=-λ$\overrightarrow{BP}$+（2λ-1）$\overrightarrow{BA}$．
∵BP?平面PAB，BA?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB．

點評 本題考查了空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．