Question

（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

如圖，四棱錐S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SB上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC .

 

（Ⅰ）證明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明見解析

（Ⅱ）120°

【解析】本題主要考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)定理、平面與平面垂直的性質(zhì)，二面角的求解，以及考查邏輯思維能力、空間想象力與簡(jiǎn)單運(yùn)算能力、同時(shí)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

解法一：

 (Ⅰ)連接BD，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，

  由此知 即為直角三角形，故.

    又,

所以，.

作，，

故平面EDC，內(nèi)的兩條相交直線都垂直.

        

         ,

         ,

所以，.

 

(Ⅱ) 由知

.

故為等腰三角形.

取中點(diǎn)F，連接，則.

連接，則.

所以，是二面角的平面角.

連接AG，AG=，,

,

所以，二面角的大小為120°.

 

解法二：

 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)則,,.

(Ⅰ),

設(shè)平面的法向量為,

由,

故

令，

又設(shè)，則

     ,

 

設(shè)平面的法向量，

由,得

     ，

故    .

令，則.

 由平面得.

故.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知，取中點(diǎn)F，則,,

故,由此得.

   又,故由此得,

向量與的夾角等于二面角的平面角.

于是          ,

所以，二面角的大小為120°.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)立體幾何的考查是一直解答題中比較常規(guī)、變化不大的題。但今年（Ⅰ）的問題的設(shè)置由證明空間位置關(guān)系變?yōu)樽C明西安段之間的相等關(guān)系，在力求創(chuàng)新考查，但實(shí)際還是考查空間直線、平面之間的位置的關(guān)系的證明及應(yīng)用.