Question

【題目】已知函數(shù)．

當時，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

若，且對任意，，，都有，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

把代入函數(shù)解析式，求其導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在上是增函數(shù)，說明其導(dǎo)函數(shù)在上大于等于0恒成立，在導(dǎo)函數(shù)中x與恒大于0，只需對恒成立，則a可求；

由知，當時在上是增函數(shù)，任取，，且規(guī)定，則不等式可轉(zhuǎn)化為恒成立，引入函數(shù)，說明該函數(shù)為增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在上大于等于0恒成立，分離變量后利用基本不等式可求a的最小值．

解：當時，．

則

令，得，即，解得：或．

因為函數(shù)的定義域為，

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．

由函數(shù)．

因為函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以對恒成立

即對恒成立．

所以

即實數(shù)a的取值范圍是．

因為，由知函數(shù)在上是增函數(shù)．

因為，，，不妨設(shè)，所以

由恒成立，可得，

即恒成立．

令，則在上應(yīng)是增函數(shù)

所以對恒成立．

即對恒成立．

即對恒成立

因為當且僅當即時取等號，

所以．

所以實數(shù)a的最小值為．