Question

14．已知關(guān)于x的不等式|2x-1|-|x+1|≤log₂a（其中a＞0）．
（I）當(dāng)a=16時(shí)，求不等式的解集；
（Ⅱ）若不等式解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當(dāng)a=16時(shí)，把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）若不等式解集為空集，則log₂a＜|2x-1|-|x+1|的最小值，利用單調(diào)性求得|2x-1|-|x+1|的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（I）當(dāng)a=16時(shí)，根據(jù)關(guān)于x的不等式|2x-1|-|x+1|≤log₂16=4（其中a＞0），
可得 $\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{1-2x-（-x-1）≤4}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{1-2x-（x+1）≤4}\end{array}\right.$ ②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{2x-1-（x+1）≤4}\end{array}\right.$③．
解①求得-2≤x＜-1，解②求得-1≤x≤$\frac{1}{2}$，解③求得$\frac{1}{2}$＜x≤6，
故原不等式的解集為{x|-2≤x≤6}．
（Ⅱ）若不等式解集為空集，則log₂a＜|2x-1|-|x+1|的最小值，
再根據(jù)當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，|2x-1|-|x+1|取得最小值為-$\frac{3}{2}$，∴l(xiāng)og₂a＜-$\frac{3}{2}$，
求得 0＜a＜$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，故實(shí)數(shù)a的范圍為（0，$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，利用單調(diào)性求函數(shù)的最小值，屬于中檔題．