Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x.

（1）若f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若x=-是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）在［1，a］上的最大值；

（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，試說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）a≤0（2）f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6（3）存在符合條件的實(shí)數(shù)b，b的范圍為b＞-7且b≠- 3

解析:

  （1）f′(x)=3x²-2ax-3

∵f(x)在［1，+∞）上是增函數(shù),

∴f′(x)在［1，+∞）上恒有f′(x)≥0，

即3x²-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立

則必有≤1且f′(1)=-2a≥0,∴a≤0.

(2）依題意，f′(-)=0,即+a-3=0

∴a=4,∴f（x）=x³-4x²-3x

令f′（x）=3x²-8x-3=0，

得x₁=-，x₂=3.則

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x),f(x)的變化情況如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
		-	0	+
f (x)	-6		-18		-12

∴f（x）在［1，4］上的最大值是f（1）=-6.

（3）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，即方程x³-4x²-3x=bx恰有3個(gè)不等實(shí)根

∴x³-4x²-3x-bx=0，∴x=0是其中一個(gè)根，

∴方程x²-4x-3-b=0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，

∴,∴b＞-7且b≠-3.

∴存在符合條件的實(shí)數(shù)b，b的范圍為b＞-7且b≠- 3.