Question

如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,三角形ACD是正三角形,且AD=DE=2,AB=1,F是CD的中點.

(1)求證:AF∥平面BCE;

(2)求多面體ABCDE的體積;

(3)求二面角C-BE-D的正切值.

Answer 1

(1)證明:如圖,取CE中點M,連結FM、BM,則有FMDEAB,

∴四邊形AFMB是平行四邊形.

∴AF∥BM.

∵BM平面BCE,AF平面BCE,

∴AF∥平面BCE.

(2)解:由DE⊥平面ACD,則DE⊥AF,

又△ACD是等邊三角形,則AF⊥CD.而CD∩DE=D,因此AF⊥面CDE.又BM∥AF,則BM⊥平面CDE.V_ABCDE=V_B—_ACD+V_B—_CDE=.

(3)解:設G為AD中點,連結CG、BG、EG,則CG⊥AD.

由DE⊥平面ACD,CG平面ACD,則DE⊥CG,

又AD∩DE=D,∴CG⊥平面ADEB.

作GH⊥BE于H,連結CH,則CH⊥BE,

∴∠CHG為二面角CBED的平面角,

由已知AB=1,DE=AD=2,則CG=.

∴S_△GBE=(1+2)·2-×1×1-×2×1=.易知BE=,∴S_△GBE=.

∴GH=.∴tan∠CHG=.