Question

若關于x的不等式sin²x-（a+1）sinx+1≥0對一切x∈[0，

π

2

]恒成立，則a∈

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：設t=sinx，利用換元法結合不等式恒成立進行等價轉化即可得到結論．

解答： 解：設t=sinx，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[0，1]，
則不等式等價為t²-（a+1）t+1≥0在t∈[0，1]恒成立，
即t²+1≥（a+1）t在t∈[0，1]恒成立，
當t=0時，不等式等價為1≥0，成立，
當t≠0時，不等式等價為t+

1

t

≥（a+1），
∵y=t+

1

t

≥2

t• 1 t

=2，當且僅當t=1時取等號，
∴a+1≤2，解得a≤1，
故答案為：（-∞，1]．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用換元法結合基本不等式求出函數的最值是解決本題的關鍵．