Question

5．已知函數(shù)f（x）=alog₂x，g（x）=blog₃x（x＞1），其中常數(shù)a．b≠0．
（1）證明：用定義證明函數(shù)k（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=m•2^x+n•3^x，其中常數(shù)m，n滿足m．n＜0，求φ（x+1）＞φ（x）時(shí)的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）任取區(qū)間（1，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，則k（x₁）÷k（x₂）=（${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$）²∈（0，1），進(jìn)而分當(dāng)ab＞0時(shí)和當(dāng)ab＜0時(shí)兩種情況，可得函數(shù)k（x）=f（x）•g（x）的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)φ（x）=m•2^x+n•3^x，可將φ（x+1）＞φ（x）化為m•2^x+2n•3^x＞0，結(jié)合m•n＜0，分當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)和當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)兩種情況，可得滿足條件的x的取值范圍．

解答 證明：（1）任取區(qū)間（1，+∞）上兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$∈（0，1），
∵函數(shù)f（x）=alog₂x，g（x）=blog₃x（x＞1），
∴k（x₁）÷k（x₂）=（ab•log₂x₁•log₃x₁）÷（ab•log₂x₂•log₃x₂）=（${log}_{{x}_{2}}{x}_{1}$）²∈（0，1），
當(dāng)ab＞0時(shí)，k（x₁）＜k（x₂），函數(shù)k（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)ab＜0時(shí)，k（x₁）＞k（x₂），函數(shù)k（x）=f（x）•g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（2）∵函數(shù)φ（x）=m•2^x+n•3^x，φ（x+1）＞φ（x），m•n＜0，
∴φ（x+1）-φ（x）=m•2^x+2n•3^x＞0，
當(dāng)m＞0，n＜0時(shí)，$（\frac{3}{2}）^{x}$＞$-\frac{m}{2n}$，則x＞${log}_{\frac{3}{2}}（-\frac{m}{2n}）$，
當(dāng)m＜0，n＞0時(shí)，$（\frac{3}{2}）^{x}$＜$-\frac{m}{2n}$，則x＜${log}_{\frac{3}{2}}（-\frac{m}{2n}）$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法定義法（作商法）的方法和步驟是解答本題的關(guān)鍵．