Question

（2011•溫州二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₂=4，且滿足2S_n=n（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若存在正整數(shù)n，使

n

an

≥k•2n成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)2S_n=na_n+n，當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1，兩式作差，再得到遞推關(guān)系進(jìn)行再作差可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）先將k分離，可知轉(zhuǎn)化成k≤

n

(3n-2)•2n

存在正整數(shù)解，然后利用單調(diào)性求出不等式右側(cè)最大值，從而求出k的取值范圍．

解答：（1）證明：由題意可知2S_n=na_n+n
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）a_n-1+n-1
相減得2a_n=na_n-（n-1）a_n-1+1
即（n-2）a_n-（n-1）a_n-1+1=0     ①
所以（n-3）a_n-1-（n-2）a_n-2+1=0    ②
由①-②得（n-2）a_n-2（n-2）a_n-1+（n-2）a_n-2=0（n≥3）
 即a_n-2a_n-1+a_n-2=0（n≥3）
所以數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（II）解：由（I）得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_n=3n-2
由題意k≤

n

(3n-2)•2n

存在正整數(shù)解
令b_n=

n

(3n-2)•2n

＞0
因?yàn)?span id="ocum6o6" class="MathJye">

bn+1

bn

=

(n+1)(3n-2)

2(3n+1)n

＜1
所以{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，故{b_n}的最大值為b₁=

1

2

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤

1

2

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及數(shù)列的函數(shù)特性和數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．