Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

a2x3-ax2+

2

3

，g（x）=-ax+1．
（1）曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，求a的值．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）若a＞0，在區(qū)間（1，

1

2

]至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因?yàn)橹本�3x-y=1的斜率為3，曲線f（x）在x=1處的切線與直線3x-y=1平行，得到f′（1）=3，即可得到關(guān)于a的一元二次方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）當(dāng)a等于0時(shí)，得到f（x）等于常數(shù)為增減性；當(dāng)a不等于0時(shí)，把導(dǎo)函數(shù)分解因式，求出導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)x的值，利用x的值討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可得到相應(yīng)范圍函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)F（x）等于f（x）-g（x），求出F′（x）判斷其符號(hào)在區(qū)間（1，

1

2

]上恒大于0得到F（x）為增函數(shù)，所以F（x）的最大值為F（

1

2

），要使存在一個(gè)實(shí)數(shù)x₀，使f（x₀）＞g（x₀）成立即要F（

1

2

）大于0，代入列出關(guān)于a的不等式，求出解集即可得到a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=a²x²-2ax
則f′（1）=3即a²-2a-3=0，（a-3）（a+1）=0
解得a=-1或a=3；

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，f′（x）=a²x（x-

2

a

）
①a＞0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，0），f′（x）＞0；0＜x＜

2

a

，f′（x）＜0；

2

a

＜x時(shí)，f′（x）＞0
②a＜0時(shí)，當(dāng)x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＞0；

2

a

＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0；x＞0時(shí)，f′（x）＞0
而當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=

2

3

，函數(shù)f（x）無(wú)單調(diào)性．
綜上，a=0時(shí)f（x）無(wú)單調(diào)性；a＞0時(shí)，f（x）在（-∞，0）單調(diào)增，在（0，

2

a

）上單調(diào)減，（

2

a

，+∞）上單調(diào)增；
a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，-

2

3

）單調(diào)增，在（-

2

3

，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)增；

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

a²x³-ax²+ax-

1

3

，則F′（x）=a²x²-2ax+a=a（ax²-2x+1）=a[ax²+（1-2x）]
∵a＞0，x∈（0，

1

2

]
∴F′（x）＞0∴F（x）在（0，

1

2

]上單調(diào)遞增，所以F（x）_max=F（

1

2

）
若存在x₀∈（0，

1

2

]使f（x₀）＞g（x₀）成立，只需F（x）_max＞0即F（

1

2

）＞0．
代入得

1

3

a²(

1

2

)3-a(

1

2

)2+a•

1

2

-

1

3

＞0
化簡(jiǎn)得a²+6a-8＞0，
解得a＞-3+

17

或a＜-3-

17

（舍去）
∴a的范圍是（-3+

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，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的增減性及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時(shí)所滿足的條件，是一道比較難的題．