Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓W：

x2

2

+y2=1的左、右焦點(diǎn)，斜率為k的直線l經(jīng)過右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓W相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求△ABF₁的周長；
（Ⅱ）如果△ABF₁為直角三角形，求直線l的斜率k．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義，可求△ABF₁的周長；
（Ⅱ）如果△ABF₁為直角三角形，分類討論，利用韋達(dá)定理，即可求直線l的斜率k．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓W的長半軸長a=

2

，左焦點(diǎn)F₁（-1，0），右焦點(diǎn)F₂（1，0），…（2分）
由橢圓的定義，得|AF₁|+|AF₂|=2a，|BF₁|+|BF₂|=2a，
所以△ABF₁的周長為|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4

2

．…（5分）
（Ⅱ）因?yàn)椤鰽BF₁為直角三角形，
所以∠BF₁A=90°，或∠BAF₁=90°，或∠ABF₁=90°，
當(dāng)∠BF₁A=90°時(shí)，
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由y=k（x-1），代入橢圓方程可得 （1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，…（7分）
所以x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

．…（8分）
由∠BAF₁=90°，得

F1A

•

F1B

=0，…（9分）
因?yàn)?span id="e4wmma4" class="MathJye">

F1A

=（x₁+1，y₁），

F1B

=（x₂+1，y₂），
所以

F1A

•

F1B

=（1+k²）x₁x₂+（1-k²）（x₁+x₂）+1+k²=0，…（10分）
解得k=±

7

7

．…（11分）
當(dāng)∠ABF₁=90°時(shí)，
則點(diǎn)A在以線段F₁F₂為直徑的圓x²+y²=1上，也在橢圓W上，
由

x2 2 +y2=1 x2+y2=1

解得A（0，1），或（0，-1），…（13分）
根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式，得k=±1，
綜上，直線l的斜率k=±

7

7

，或k=±1時(shí)，△ABF₁為直角三角形．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：橢圓的定義是解決橢圓問題的常用方法，直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理是解決直線與橢圓位置關(guān)系問題的方法．