Question

12．函數(shù)f（x）=x²-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，則函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在區(qū)間（1，+∞）上的值域是（1-a，+∞）．

Answer 1

分析 求二次函數(shù)f（x）的對稱軸，根據(jù)f（x）在（-∞，1）上有最小值即可得到a＜1，求出g（x）=x$+\frac{a}{x}-2a$，求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x＞1，以及a＜1，即可說明g′（x）＞0，從而說明函數(shù)g（x）為增函數(shù)，這樣根據(jù)單調(diào)性即可得出函數(shù)g（x）的值域．

解答 解：f（x）的對稱軸為x=a，f（x）在區(qū)間（-∞，1）上有最小值；
∴a＜1；
$g（x）=x+\frac{a}{x}-2a$，$g′（x）=\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$；
∵x＞1；
∴x²＞1，a＜1；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g（x）＞g（1）=1-a；
∴原函數(shù)的值域為：（1-a，+∞）．
故答案為：（1-a，+∞）．

點評 考查函數(shù)值域的概念，二次函數(shù)的對稱軸，及其最值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法．