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設(shè)x1、x2是函數(shù)f(x)=x2-a2x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn),且|x1|+|x2|=2.

(1)求a的取值范圍;

(2)求證:|b|≤.

答案：(1)解:易得f′(x)=ax2+bx-a2,

∵x1、x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴x1、x2是f′(x)=0的兩個(gè)實(shí)根.又a＞0,∴x1x2=-a＜0,x1+x2=.

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=.∵|x1|+|x2|=2,∴+4a=4,即b2=4a2-4a3=4a2(1-a).∵b2≥0,∴0＜a≤1.

(2)證明:設(shè)b2=g(a)=4a2-4a3,則g′(a)=8a-12a2=4a(2-3a).由g′(a)＞0,得0＜a＜;由g′(a)＜0,得＜a≤1.∴g(a)在(0,)上單調(diào)遞增,在(,1)上單調(diào)遞減.

∴［g(a)］max=g()=.∴|b|.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x(a＞0)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x1|+|x2|=2．
（1）證明：|b|≤
4
3
9
．
（2）若g（x）=f'（x）-2a（x-x1），證明當(dāng)x1＜x＜2時(shí)，且x1＜0時(shí)，|g（x）|≤4a．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）=
a
3
x3+
b
2
x2-a2x（a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x1|+|x2|=2．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：|b|≤
4
3
9
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+bx+c，且f（1）=-
12
．
（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．
（2）設(shè)x1、x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x1-x2|的取值范圍．
（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，且f(1)=-
a
2
，3a＞2c＞2b．
（1）求證：a＞0且-3＜
b
a
＜-
3
4
；
（2）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；
（3）設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)，求|x1-x2|的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）=x3-2ax2+a2x的兩個(gè)極值點(diǎn)，若x1＜2＜x2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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