Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x2，
（1）求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）令g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x，試判斷函數(shù)g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域為(-

2

3

，+∞)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系即可；
（2）g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x=ln（2+3x）+（m-1）x．定義域為(-

2

3

，+∞)．通過對m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為(-

2

3

，+∞)．
f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(3x-1)(x+1)

2+3x

，
令f′（x）=0，解得x=

1

3

．
當(dāng)x＞

1

3

時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-

2

3

＜x＜

1

3

時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）在x=

1

3

取得極大值，f(

1

3

)=ln(2+3×

1

3

)-

3

2

×(

1

3

)2=ln3-

1

6

．
（2）g（x）=f（x）+

3

2

x2+(m-1)x=ln（2+3x）+（m-1）x．定義域為(-

2

3

，+∞)．
g′（x）=

3

2+3x

+m-1=

3(m-1)x+2(m-1)+3

2+3x

．
當(dāng)m≥1時，g′（x）＞0在x∈(-

2

3

，+∞)恒成立，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)m＜1時，g′（x）=

3(m-1)[x+ 2m+1 3(m-1) ]

2+3x

，
∵-

2m+1

3(m-1)

=

1

1-m

-

2

3

＞-

2

3

，令g′（x）=0，解得x=

2m+1

3(1-m)

．
當(dāng)x＞

2m+1

3(1-m)

時，g′（x）＜0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-

2

3

＜x＜

2m+1

3-3m

時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
綜上可知：當(dāng)m≥1時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)m＜1時，當(dāng)x＞

2m+1

3(1-m)

時，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)-

2

3

＜x＜

2m+1

3-3m

時，g′（x）＞0，此時函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性極值的關(guān)系，屬于中檔題．