Question

10．已知函數(shù)f（x）=alnx-x+1（a∈R）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，求所有實數(shù)a的值；
（3）證明：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+\frac{ln4}{5}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{n（n-1）}{4}$（n∈N，n＞1）

Answer 1

分析 （1）求導，利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性；
（2）對a進行分類：當a≤0時，f（x）遞減，又知f（1）=0可得f（x）＞0 （x∈（0，1）；
當a＞0時，只需求f（x）_max=f（a）=alna-a+1，讓最大值小于等于零即可；
（3）利用（2）的結(jié)論，對式子變形可得$\frac{lnn}{n+1}$=$\frac{ln{n}^{2}}{2（n+1）}$＜$\frac{{n}^{2}-1}{2（n+1）}$=$\frac{n-1}{2}$．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{a-x}{x}$
當a≤0時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
當a＞0時，x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（a+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
（2）由（1）知，當a≤0時，f（x）遞減，
∵f（1）=0
∴f（x）≤0在（0，+∞）上不恒成立，
當a＞0時，x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
x∈（a+∞）時，f'（x）＜0，f（x）遞減；
∴f（x）_max=f（a）=alna-a+1
令g（a）=alna-a+1
∴g'（a）=lna
∴g（a）的最小值為g（1）=0
∴alna-a+1≤0的解為a=1；
（3）由（2）知：lnx＜x-1 x＞1
∵$\frac{lnn}{n+1}$=$\frac{ln{n}^{2}}{2（n+1）}$＜$\frac{{n}^{2}-1}{2（n+1）}$=$\frac{n-1}{2}$
∴$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+…+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$．

點評 考察了導函數(shù)求單調(diào)性和最值問題，利用結(jié)論證明不等式問題．難點是對式子的變形整理．