Question

8．已知F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，連接AF₂和BF₂．
（Ⅰ）求△ABF₂的周長(zhǎng)；
（Ⅱ）若AF₂⊥BF₂，求△ABF₂的面積．

Answer 1

分析 （I）由橢圓定義得△ABF₂的周長(zhǎng)為4a，由此能求出結(jié)果．
（II）設(shè)直線l的方程為x=my-1，與橢圓聯(lián)立，得（m²+2）y²-2my-1=0．由此利用韋達(dá)定理、向量垂直的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式，能求出△ABF₂的面積．

解答 解：（I）∵F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，
過(guò)F₁的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，連接AF₂和BF₂．
∴△ABF₂的周長(zhǎng)為|AF₁|+|AF₂|+|BF₁|+|BF₂|=4a=4$\sqrt{2}$．…（3分）
（II）設(shè)直線l的方程為x=my-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}-2=0}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-2my-1=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，…（5分）
∵AF₂⊥BF₂，∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=0，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}•\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-1）（x₂-1）
=（my₁-2）（my₂-2）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-2m（y₁+y₂）+4
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}-2m×\frac{2m}{{m}^{2}+2}+4$
=$\frac{-{m}^{2}+7}{{m}^{2}+2}$=0
∴m²=7．…（10分）
∴△ABF₂的面積S=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×$\sqrt{（{y}_{1}{+y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8}{9}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的面積及周長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓定義、韋達(dá)定理、向量垂直的性質(zhì)、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．