Question

16．已知sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，0≤α＜β≤2π，則β-α的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$
• D． $\frac{3π}{3}$或$\frac{7π}{3}$

Answer 1

分析 由題意可得，-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ，兩邊同時(shí)平方相加整理可得cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$，再結(jié)合0＜β-α＜2π，求得β-α的值．

解答 解：∵cosα+cosβ+cosγ=0，sinα+sinβ+sinγ=0，
∴-cosγ=cosα+cosβ，-sinγ=sinα+sinβ，
兩邊同時(shí)平方相加可得，sin²γ+cos²γ=（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²，
∴1=2+2cosαcosβ+2sinαsinβ，
∴2cos（α-β）=-1，cos（β-α）=-$\frac{1}{2}$．
∵0≤α＜β≤2π，∴0＜β-α＜2π，
∴β-α=$\frac{2π}{3}$或 $\frac{4π}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角平方關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)sin²γ+cos²γ=1，從而可得α，β的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．