Question

已知函數(shù)f（x）=

x+1，x≤0 lo g   2 x，x＞0

，則函數(shù)y=f{f（x）}+1的零點個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：分別討論當-1＜x≤0時，x≤-1時，0＜x＜1時，x＞1時的情況，求出相對應的表達式，從而求出函數(shù)的解的個數(shù)．

解答： 解：當x≤0時，f（x）=x+1，
當-1＜x≤0時，f（x）=x+1＞0
y=f[f（x）]+1=log₂（x+1）+1=0，
x+1=

1

2

，x=-

1

2

．
當x≤-1時，f（x）=x+1≤0，
y=f[f（x）]+1=f（x）+1+1=x+3=0，
∴x=-3．
當x＞0時，f（x）=log₂x，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1，
當0＜x＜1時，f（x）=log₂x＜0，
y=f[f（x）]+1=log₂[f（x）]+1=log₂（log₂x+1）+1=0，
∴l(xiāng)og2x+1=

1

2

，x=

2

2

；
當x＞1時，f（x）=log₂x＞0，
∴y=f[f（x）]+1=log₂（log₂x）+1=0，
∴l(xiāng)og2x=

1

2

，x=

2

．
綜上所述，y=f[f（x）]+1的零點是x=-3，或x=-

1

2

，或x=

2

2

，或x=

2

．
故答案為：4．

點評：本題考查了函數(shù)的零點問題，考查復合函數(shù)的解析式的求解，考查分類討論思想，是一道中檔題．