Question

已知橢圓C₁：，拋物線C₂：（y-m）²=2px（p＞0），且C₁、C₂的公共弦AB過橢圓C₁的右焦點(diǎn)，
（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，求m、p的值，并判斷拋物線C₂的焦點(diǎn)是否在直線AB上；
（Ⅱ）是否存在m、p的值，使拋物線C₂的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的m、p的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m=0，
直線AB的方程為：x=1，
從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，），
因為點(diǎn)A在拋物線上，
所以，
此時C₂的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上。
（Ⅱ）假設(shè)存在m、p的值使C₂的焦點(diǎn)恰在直線AB上，
由（Ⅰ）知直線AB 的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），
由消去y得，……………①
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x₁，x₂是方程①的兩根，x₁+x₂=，
由消去y得，………………②
因為C₂的焦點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，
所以，
代入②有，即，……………③
由于x₁，x₂也是方程③的兩根，
所以x₁+x₂=，
從而，……………………④
又AB過C₁、C₂的焦點(diǎn)，
所以，
則，………………………⑤
由④、⑤式得，
解得，
因為C₂的焦點(diǎn)在直線上，
所以，
∴；
由上知，滿足條件的m、p存在，且，。