Question

設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}滿足：對任意n∈N⁺，都有ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，b_n=a_n-n•2^n-1．其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）當(dāng)b=2時，求{b_n}的通項公式，進而求出{a_n}的通項公式；
（2）當(dāng)b≠2時，求數(shù)列{a_n}的通項a_n以及前n項和S_n．

Answer 1

解：由題意知a₁=2，且ba_n-2ⁿ=（b-1）S_n，．
兩式相減得，
即．①
（1）當(dāng)b=2時，由①知，
∴=，
又，
所以{}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
可得，，
由，得．
（2）當(dāng)b≠2時，由①得
-=

若b=0，，；
若b=1，，；
若b≠0，1，數(shù)列{}是以為首項，以b為公比的等比數(shù)列，
故，
∴，
∴S_n=+
=
=
當(dāng)b=1時，也符合上式．
所以，當(dāng)b≠0時，．
分析：（1）由已知利用a_n=S_n+1-S_n可得．當(dāng)b=2時，可化為=，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出b_n及a_n；
（2））當(dāng)b≠2時，由①得，轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列，利用通項公式和前n項和公式即可得出a_n及S_n．
點評：適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式是解題的關(guān)鍵．注意分類討論的思想方法應(yīng)用．