Question

2．求滿足[$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}$]=2的正整數(shù)n．

Answer 1

分析 由[x]=2，知2≤x＜3，結合已知可得$2≤\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}＜3$，即$4≤n+\sqrt{n+\sqrt{n}}＜9$，然后對n取值驗證得答案．

解答 解：由[x]=2，知2≤x＜3，
即$2≤\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}＜3$，
∴$4≤n+\sqrt{n+\sqrt{n}}＜9$，
當n=2時，$2+\sqrt{2+\sqrt{2}}＜2+\sqrt{2+2}=4$，故n=2不滿足題意；
當n=3時，$3+\sqrt{3+\sqrt{3}}＞3+\sqrt{3}＞4$，且$3+\sqrt{3+\sqrt{3}}＜3+\sqrt{3+3}=3+\sqrt{6}＜6$，故n=3滿足題意；
當n=4時，$4+\sqrt{4+\sqrt{4}}=4+\sqrt{6}＜4+\sqrt{9}=7$，故n=4滿足題意；
當n=5時，$5+\sqrt{5+\sqrt{5}}＜5+\sqrt{8}＜5+\sqrt{9}=9$，故n=5滿足題意；
當n=6時，$6+\sqrt{6+\sqrt{6}}＜6+\sqrt{6+3}=9$，故n=6滿足題意；
當n=7時，$7+\sqrt{7+\sqrt{7}}＞7+\sqrt{7+2}=10$，故n=7不滿足題意．
∴滿足[$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}$]=2的正整數(shù)n的值為3，4，5，6共四個．

點評 本題考查根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，考查了學生的邏輯思維能力和推理論證能力，是中檔題．