Question

已知f(x)=x

1

3

x∈[-1，8]，g(x)=asinxsin(x-

π

3

)，x∈[0，

π

2

]．若對(duì)任意x₁∈[-1，8]，總存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a≥4或a≤-2

．

Answer 1

分析：若對(duì)任意x₁∈[-1，8]，總存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，可以轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_max，從而問(wèn)題得解．

解答：解：若對(duì)任意x₁∈[-1，8]，總存在x2∈[0，

π

2

]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，可以轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥g（x）_max，
由于f(x)=x

1

3

是x∈[-1，8]上的單調(diào)增函數(shù)，∴f（x）_min=-1
g(x)=a[

1

4

+

1

2

cos(2x+

π

3

)]，∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，∴cos(2x+

π

3

)∈[-1，

1

2

]，∴

1

4

+

1

2

cos(2x+

π

3

)∈[-

1

4

，

1

2

]，當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)max=

a

2

，當(dāng)a＜0時(shí)，g(x)max=-

a

4

，故可求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥4或a≤-2，故答案為a≥4或a≤-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查利用函數(shù)的最值，有一定的技巧．