Question

20．已知海島B在海島A的北偏東45°方向上，A、B相距10海里，小船甲從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線(xiàn)向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船乙從海島A出發(fā)沿北偏15°方向也以2海里/小時(shí)的速度移動(dòng)
（Ⅰ）經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，甲、乙兩小船相距多少海里？
（Ⅱ）在航行過(guò)程中，小船甲是否可能處于小船乙的正東方向？若可能，請(qǐng)求出所需時(shí)間，若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理求|EF|的長(zhǎng)度即可．
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)t（0＜t＜5）小時(shí)小船甲處于小船乙的正東方向．利用正弦定理建立條件關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，甲船到達(dá)E點(diǎn)，乙船到達(dá)F點(diǎn)，
|AE|=10-2=8，|AF|=2，∠EAF=60°，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分
∴|EF|²=|AE|²+|AF|²-2|AE||AF|cos60°=64+4-2×$8×2×\frac{1}{2}$=52，
∴|EF|=2$\sqrt{13}$．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)t（0＜t＜5）小時(shí)小船甲處于小船乙的正東方向．
則甲船與A距離為|AE|=10-2t海里，乙船與A距離為|AF|=2t海里，∠EAF=60°，∠EFA=45°，┅┅┅6分
則由正弦定理得$\frac{|AE|}{sin45°}$=$\frac{|AF|}{sin75°}$，
即$\frac{2t}{sin45°}=\frac{10-2t}{sin75°}$，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
則t=$\frac{10sin45°}{2sin75°+2sin45°}$=$\frac{10}{3+\sqrt{3}}$＜5．┅┅┅┅┅┅┅┅11分
答：經(jīng)過(guò)$\frac{10}{3+\sqrt{3}}$小時(shí)小船甲處于小船乙的正東方向．┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，根據(jù)正弦定理和余弦定理建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．